Quando vou à Delegacia, o que faço é uma queixa?

Não. Nunca se faz uma queixa, em termos técnicos, numa Delegacia. O que você, talvez, pode fazer numa Delegacia é "queixar-se" com o Delegado, mas isso não é uma queixa em termos jurídicos.

Toda vez que ocorre um crime, o Estado passa a ter a possibilidade de punir o respectivo autor do mesmo, isto é, nasce para o Estado a chamada "punibilidade". O meio de se praticar, de se exercer esta punibilidade é com um processo penal. Este processo começa, efetivamente, por meio de uma ação penal (que nada mais é que a narração de um crime ocorrido, pedindo a condenação de alguém, dirigida a um Juiz de Direito). Esta narração é, na grande maioria dos casos, de legitimidade do Ministério Público (Promotor de Justiça), ou seja, é o Promotor o "dono" da ação penal, é ele quem pode processar alguém criminalmente no Brasil.

Entretanto, há algumas situações em que a lei diz que quem irá exercer a ação penal não será o Promotor de Justiça, mas sim a vítima do crime. Isso mesmo: você, que foi vítima de um crime, terá que contratar um advogado para que ele processe o autor do crime em seu nome. É exatamente a mesma coisa: o Estado continua sendo o detentor da possibilidade de punir (punibilidade), só que, ao invés de ser um órgão oficial (Ministério Público - Promotor de Justiça) quem poderá entrar com a ação, é a própria vítima quem o deverá fazer. E o nome desta ação que será elaborada pela vítima, com o seu advogado, é "queixa-crime". Nada mais é que a ação penal sendo exercida por um particular, ao invés de ser por meio do Promotor.

E por que existe a queixa-crime? Porque há situações que a lei considera que o interesse da vítima é tão relevante que o Estado passa a ela o direito de decidir se vai querer ou não processar o autor do crime. Quando a ação penal é do Promotor, esta opção não existe (isso mesmo: por mais que você, vítima de um crime, perdoe o autor, o Promotor tem a obrigação de entrar com a ação penal). Já na queixa-crime, cabe a você, vítima, escolher se processa ou não.

Exemplo: o crime de dano só se processa mediante queixa. O art. 163 traz este crime: Art. 163 - Destruir, inutilizar ou deteriorar coisa alheia: Pena - detenção, de um a seis meses, ou multa. E o art. 167 assim diz: Art. 167 - Nos casos do art. 163, do inciso IV do seu parágrafo e do art. 164, somente se procede mediante queixa. A lei escolheu que, neste caso, se o próprio dono da coisa destruída não se importa com o que ocorreu, não cabe ao Promotor processar o autor do crime. Então, é a vítima quem vai decidir se quer ou não entrar com a ação penal, é ela quem decide se entra ou não com a chamada "queixa".

Isso é, tecnicamente, uma queixa. O que se faz na Delegacia, na verdade, é um Boletim de Ocorrência (B.O), uma informação à Polícia de que um crime ocorreu, você apenas dá a "notícia de um crime". Feito este B.O, o Delegado poderá instaurar um Inquérito Policial (que é o instrumento da Polícia que formaliza e documenta as investigações feitas). Depois de acabada a investigação, aí sim, é que se começará o processo penal de fato: ou com uma ação penal pública (a feita pelo Promotor) ou com uma ação penal privada (a queixa, feita pela vítima).

Basicamente, é isso.